数学史特論レポート

600P031-4 高木祐介

2000-09-10

概要

言葉とは言魂であり神であった。しかし言葉は表現法として用いられ、次第に神を表さなくなる。神が真実か否かに関わらず、言葉で表せてはならない理由を述べる。

1 参考文献

• いとうせいこう, 「ノーライフキング」 , 新潮文庫, 1991, ISBN4-10-125011-1.

• 神林長平, 「機械たちの時間」 , ハヤカワ文庫, 1995, ISBN4-15-030532-3.

• ジョン・キャスティ著, 「ケンブリッジ・クインテット」 , 新潮社.

• フレッド・ゲティングズ著, 大瀧啓裕訳, 「悪魔の事典」 , 青土社, 1992, ISBN4-7917-5185-X. (Fred Gettings, DICTIONARY OF DEMONS – A Guide to Demons and Demonologists in Occult Lore, Rider & Co Ltd, 1988.)

• ナレン・ゲハニ著, 福富寛, 清水恵介, 川嵜秀作訳, 「ANSI C 上級入門」 , CQ 出版社, 1991, ISBN4-7898-3309-7. (Narain Gehani, C: An Advanced Introduction (ANSI C Edition), 1988.)

• マルコム・ゴドウィン著, 大瀧啓裕訳, 「天使の世界」 , 青土社, 1993, ISBN4-7917-5289-9. (Malcolm Godwin, ANGELS – An Endagered Species, Labyrinth Publising (UK) Limited, 1990.)

• 山本弘, 「戦慄のミレニアム」上下, 角川スニーカー文庫, 2000.

• ルーディ・ラッカー著, 黒丸尚訳, 「ホワイト・ライト」ハヤカワ文庫, 1992, ISBN4-15-010972-9. (Rudy Rucker, White Light, or, What is Cantor’s Continuum Problem?, Susan Ann Protter Literary Agent, 1980.)

• ルーディ・ラッカー著, 金子務, 大槻有紀子, 竹沢攻一, 村松俊彦訳, 「思考の道具箱」工作舎. (Rudy Rucker, Mind Tools: Five Levels of Mathematical Reality.)

• エリック・レイモンド編, 福崎俊博訳, 「ハッカーズ大辞典」 , アスキー出版局, 1995, ISBN4-7561-0374-X. (Eric S Raymond, The New Hacker’s Dictionary Second Edition, The MIT Press, 1993.)

• ジェラルド・ワインバーグ著, 木村泉, 角田博保, 久野靖, 白濱律雄訳, 「プログラミングの心理学」 , 技術評論社, 1994, ISBN4-7741-0077-3. (Gerald M Weinberg, The PSYCHOLOGY of COMPUTER PROGEAMMING, Van Nostrand Reinhold A Division of Wadsworth, 1988.)

2 言語と表現

人間は言葉を使う動物である。人間は○○な動物であるとは良く言われることだが、脳が大きく、二本足で歩き、道具を使い、社会性をもつ、といったことはすべて、ひとり素裸では弱かった猿が生き残ってきた理由の、異なる側面である。

まず「言葉の神秘性」で、言語の支配的な例をズラズラ挙げる。次の「表現手段としての言葉」で、逆に言葉と表現が区別される例を挙げる。最後の「ア・プリオリな言葉」は、よく分からない。

本当にとりとめなくてすみません。途中は怪しいので、まとめだけ読んでいただければ十分です。

3 言葉の神秘性

真の名が知られると相手のいいなりになってしまうという。知識ある魔術師が畏怖され殺されたのは、知識＝神だったからだ。言葉は真理であり、同じ言葉で表されるものは同じものだった。時間が循環するという考えも、

季節の同一視から来ているのだろう。

未知は魔であり、遠いものは暗く隠されている。外人 (stranger) は異人であり変人である。性差別も人種差別も相手と自分が異なることから来ている。

「横書きではものを考えられない」 [朝日新聞] と言った作家がいる。

FORTRAN は再帰的呼び出しをサポートしていない。その結果、 FORTRAN プログラマは再帰的なアルゴリズムをめったに使わない。同様に、もしプログラミング言語がコンカレント・プログラミング機能をもたない場合、その言語を使うプログラマはコンカレントなアルゴリズムを使わないであろう。 [ANSI C 上級入門, Appendix B 「コンカレント C」 ]

以前の経験をもとに用語に連想イメージを結びつける人間の傾向。たとえば ‘+’ という記号には、足し算を表すのにふさわしいと思わせるための秘密は一切ない。単に人々がこの記号から加算を連想するだけなのだ。コンピュータ言語で ‘+’ や ‘plus’ を使って加算を表すのは、 ELIZA 効果を利用しているのだ。 [ハッカーズ大辞典, ELIZA effect]

プログラムを本当に読んでみると、ある部分はコンピュータ側の制約ゆえに、またある部分は言語の側の制約ゆえに、またはプログラマの側の制約ゆえに、または歴史的な事件ゆえに、そしてまたある場合には（有意義な、または無意味な）仕様ゆえにそうなっているのだ、ということに気づく。だが、そうした断片が最終製品に組み込まれるに至った理由が何であったにせよ、そこには心理的問題がある。 [プログラミングの心理学, 第 1 章「プログラムを読む」まとめ]

たとえば、式 A+B の理解しにくさは式 BIG+SMALL の三分の一、などということはない。なぜそうでないかというと、われわれは、個々の文字を思考過程の基本単位とすることはめったにないからである。むしろわれわれは、「単語」を使うのが習慣である。多くの実験から、 BIG といった単語は、 A という単語と同じぐらい容易に処理できる、ということがわかっている。 [プログラミングの心理学, 第 12 章「プログラミング言語の設計原理」簡潔性]

言語決定論は、使用している言語が世界観や思考様式を支配するという考え方である。ここから翻訳不可論が生まれるが、過激さゆえに否定される。

4 表現手段としての言葉

活版印刷の発明や読み書きの普及につれて言葉の神秘性は弱くなった。言葉が神たる地位を追われ、言葉で表せない真理が神の座に就く。

言語相対論は、使用している言語によって外界のとらえ方が相対的に異なるので、異なる言語を用いている人々は外界の認識の仕方や思考様式が異なるという考え方である。

運動は軌跡や次状態関数によって表される。 [思考の道具箱, 空間] 数学は静的な言語であり、現実の変化の時系列は時間軸と、媒介変数に時刻をとる関数とで表される。静的な言語によって動的な対象を表す例として、論理によって集合論を記述することがある。完全性定理と不完全性定理は、静的な論理によって動的な集合論を記述する試みに発する、レベルの違いを浮き彫りにしている。言語が直接表現するのは可能態だが、それが現実態を表していると思うこと、信じること、そういう約束を守ること、が言語を用いるのに必要だと思われる。

アキレスが百ヤード走った時には、亀はその十ヤード先をいっている。アキレスがその十ヤードを走る間に、亀は一ヤード先までいっているだろう。いつまでもそんなふうに続くだろう。従って、亀に追い着くためには、アキレスは無限に連続した距離を次々と通過しなければならない。従って、アキレスは絶対に亀に追い着けないのである。

実数の有限の区間内には無限に連続した点が含まれる。現実には、無限に連続した点を含む有限の距離を通過するには、有限時間あればよい。従って、アキレスは亀に追い着ける。「P である」という事実には無限通りの表現がある。「P でないということはない」、「P でないということはないということはないということはない」というように。しかし、これは「P である」ことを表現できないこととは全く異なる。表現と事実は独立である。

そこには何ページにもわたってビッシリと、さとるの成分表が書き込まれ、下に行けば行くほど小数点の出てくる回数が多くなっていた。「100 パーセントにならないようにしてるんだ。」 [ノーライフキング, 暗黒迷宮 VISION V-5]

サルトルは、自分を徹底的に分析し続け、分析不能の（つまり百パーセントにならない）部分こそが自由なのだと見なしたという。 [ノーライフキング, 解説岡田幸四郎]

画面をスクロールしながらカッちんが唇を動かした。

「これ、僕じゃないでしょ」 [ノーライフキング, 暗黒迷宮 VISION V-5]

真理＝神が言葉で表せないのは、神が永遠であり、真に無限だからである。神が無限なのは、無限でなければ救われないからである。

キリスト教の神が無限でなければならないのは、論戦におけるアイデンティティとしての意味も強い。

キリスト教に特有のデーモン信仰は（数多くの初期キリスト教の概念と同じく）、グノーシス主義、ことにバシレイデス派のグノーシス主義との論戦を基に展開したらしい。 [悪魔の事典, 序文]

一口に救われるといっても人によって意味はさまざまだ。日本の仏教のような現世利益、現世で苦労していても来世で救われるという魂の拠り所、自己正当化のための最後の柱。

5 ア・プリオリな言葉

言語を定義する時、単語を意味の成分に分解していくという方法がある。例えば、母 = 女 + 親という具合に。しかし、「母」よりも「女」や「親」の方がプリミティブな単語なのだろうか？

公理と定理は代替可能だし、知識というものは思考の代用となる。少なくとも科学はそれを前提として発展してきた。言語を定義する時に問題なのは、何が公理系を決定づけるかということだ。プリミティブな単語をどうやって選ぶのか？

コンピュータにとっては、理解できる言語が機械語だけなので、機械語がプリミティブである。しかし、プリミティブな機械語はすでに回路の組合せである。

現代数学は論理によって記述され、自然科学は数学によって記述され、社会学は自然科学によって記述される。記述する言語と記述される対象のレベルが異なるため、対象が言語の制約をすべて受けるとは限らない。例えば、マクロ経済では個人の動きを確率的にしか考慮しない。量子論では不確定な電子の動きは、電子回路をまともに動作させる。機械語のセットがどんなものでも、チューリングマシンに等価なコンピュータは計算可能な関数を計算可能である。

私の浅い理解によると、論理の完全性は論理で論理を定義できることによる。まず、論理という言語を使って論理を定義することは、記述言語と定義される言語のレベルが異なる＝異なる言語であることによって正当化される。次に、記述言語と定義された言語が同型であることによって、論理で論理を定義できたと見なす。

コンピュータ言語ではレベルの違いが分かりやすい。機械語以外の言語をコンピュータに分からせるには翻訳器が必要である。 C 言語を使いたければ、 C 言語から機械語への翻訳器が必要なのだが、この翻訳器がまた C 言語で記述されていたりする。もちろん実際に翻訳を行なう翻訳器は、機械語に翻訳ずみでなければならない。

無限という概念の情報量はむしろ小さい。 [思考の道具箱] 無限大という「数」のもつ情報量は有限である。対して、一般の無理数のもつ情報量は無限である。無理数のすべての桁を正確に書き表すには無限の場所が必要であり、言い表すには無限の時間が必要だ。ただし、πや√など記号で表される数の情報量は有限である。

脳の神経細胞が 0, 1 の 1 ビットを表し、互いに独立に状態を変えると仮定しても、神経細胞の個数は無限ではなく、従って人間の心の状態も有限である。 [思考の道具箱] 脳が心を決定するとすれば。昆虫は神経の塊があるが脳はなく、植物は脳どころか神経がない。しかし、蜜蜂がある程度の記憶を持っており、蜜の方向をダンスで知らせることは良く知られている。また、ある種の植物が感情を持つという研究もあった。

泳ぎ方、自転車の乗り方といった、言葉で表現できないと言われるものは、ア・ポステリオリに学習するものである。神の無限性もア・ポステリオリであると考えられる。

一方、真理の概念はア・プリオリである。正誤とか善悪とか評価のための概念は、上下とか左右とかと同様にほぼ身体的なものではないか。ア・ポステリオリなのは評価の対象である。何を善悪と見なすか、何を正誤と見なすかは教育によって変わる。

「時間の流れが正常か逆行しているかを決めるのは意識だろう。流れなんかないのかもしれないけれど。機械たちにとっては、おれたちが答えと感じるものが先にあるのを不思議には思わないのかもしれない。おれたちにとって原因と思われるものが機械たちには結果として思われるなら、時間が逆向き、おれたちとは逆に流れているに等しいだろう」 [機械たちの時間]

疑似科学では EQ、複雑系、量子論の用語が乱用されている。

絶対とか最もという言葉、排泄や性行為、神や無限に関する言葉は、どんな時代でも少なからぬ人々に衝撃を及ぼす。それは、これらの言葉がア・プリオリな概念を表すからだろう。

自分以外の物事はすべて自分の想像だという考えはわりとポピュラーだが、なぜ自分が自分以外の人の想像だとは思わないのか。すべての物事があらゆる人の想像の産物であってはならないのか。夢を見ているのがアリスか赤の王様かということに何の違いがあるのか。

夢見るものの区別が重要なのは、夢見るものが目覚めた時、夢見られていたものが消えてしまうと思われるからである。それならば、皆が同じ夢を見ており、目覚めるものがいない場合はどうか。

1990〜91 年に活躍した ‘Julia’ ロボットのように、 10 分から 15 分も人間として会話してもバレずにいられる、驚くほど見事なチューリングテストの実験は存在した。 [ハッカーズ大辞典, robot]

6 まとめ

とりとめなく言葉と真理について述べてきた。真理が必要とされるのは各人の立場によるものである。数学の証明において始めに結論が目標としてあるように、真理について語る言葉も、始めに真理のあり方についての希望が目標としてあり、その目標に沿って論理が展開される。

言葉が真理なのは、言葉が魂を持つからだった。真理が言葉で表せないのは、軽薄になった言葉で表せるものが真理でないからである。キリスト教の神が無限なのは、キリスト教のアイデンティティのためだった。アイデンティティが必要なのは、相手が間違っており、自分が正しいからである。自分が正しいのは生き残るためである。